Что такое простые и сложные проценты

Кредитное соглашение. Процентные деньги

      С того момента, как на Земле появились деньги, появились и люди, которые стали давать их в долг, извлекая из этого прибыль.

      Определение 1. Лицо, дающее деньги в долг, называют кредитором. Лицо, берущее деньги в долг, называют заёмщиком.

      Предоставление денег в долг происходит в соответствии с кредитным соглашением и осуществляется в различных формах: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, получение векселя, приобретение облигаций и т.д.

      При заключении кредитного соглашения кредитор и заемщик договариваются о размере кредита, времени и способе его погашения, а также об уровне вознаграждения кредитора.

      Определение 2. Плату за предоставление денег в долг, т.е. разницу между деньгами, возвращаемыми заемщиком кредитору, и деньгами, данными кредитором заемщику в долг, называют процентными деньгами.

      Будем использовать следующие обозначения:

      Z   – сумма денег, данных кредитором заемщику в долг,

      K   – сумма денег, возвращаемая заемщиком кредитору,

      D   – процентные деньги.

      По определению 2

      Будем рассматривать лишь такие кредитные соглашения, когда долг вместе с процентными деньгами (сумма   K ) возвращается заемщиком кредитору одним платежом в конце срока, установленного кредитным соглашением.

Простые проценты

Процентный доход – это то, что составляет основу всех доходов инвестора.

При этом начисление процентов на инвестированные средства осуществляется как в форме простых процентов, так и в форме сложных процентов.

Когда речь идет об инвестировании в облигации или депозитные сертификаты, выплата процентов производится исключительно на остаток инвестированных средств, находящихся на депозите в течение определенного периода.

При этом начисления процентов на суммы процентов, накопленных в промежуточные периоды, не происходит.

Другими словами, проценты начисляются на первоначальную сумму вклада.

В силу этого, начисление процентов производится равными частями в конце каждого периода.

Например, инвестировав 100 долларов под 7% в депозитный сертификат сроком на 5 лет с ежегодной капитализацией, в конце каждого года (в течение пяти лет) инвестор будет получать процентный доход в размере 7 долларов.

Такой метод начисления процентного дохода и называется простыми процентами.

Что такое сложный процент?

Сложным процентом называют геометрическую прогрессию денежной суммы, при которой начисленные проценты прибыли прибавляются к базовой сумме, в следующем периоде базовая сумма увеличивается и процент начисляется уже на нее. За счет этого эффекта доходность получается выше, чем при простом проценте.

Капитализация или реинвестирование — это суммирование начисляемых процентов с базовой суммой в обозначенный период. В последующем периоде базовая сумма изменяется на эту величину процента, таким образом достигается прогрессивное или лавинообразное увеличение суммы средств. При подсчете по формуле простого процента, базовая сумма всегда остается неизменной.

Сложный процент — это процент начисленный на процент

Вся эта теория для неподготовленного читателя кажется через чур трудоемкой и запутанной. Но мы вас уверяем, ничего сверхсложного в формуле сложного процента и его отличия от простого нет. Сейчас разберем несколько задач и все встанет на свои места.

Простой и сложный процент, в чем отличие

В математике один процент – одна сотая часть числа. Говоря о банковском проценте, обычно подразумевают сумму денег, начисленную по определенным правилам и скопившуюся к конкретному сроку.

Все условия начисления процентов обязательно указываются в договоре между сторонами. Имеют значение такие факторы:

  • размер годовой процентной ставки,
  • капитализация процентов,
  • срок договора,
  • порядок выплаты процентов.

Кроме размера ставки, т.е количества начисленных за год процентов, на конечную сумму существенно влияет наличие или отсутствие по условиям договора капитализации процентов.

Капитализация процентов – процесс постоянного добавления начислений к основной сумме.

Это приводит к тому, что один и тот же процент, начисленный в первый период, всегда меньше, чем в последующий – ведь база для исчисления процента вырастает со временем. Такой процент называется сложным процентом.

Во вкладах и кредитах, где база для начисления процента не меняется со временем, всегда остается равной первоначальной сумме, расчет производится по формуле простых процентов.

Капитализация процентов что это?

Капитализация процентов (сложный процент) — это метод учета процентов в инвестировании, при котором в конце каждого периода сумма вложений увеличивается на величину дохода (за прошедший период), а затем полученный результат используется для расчетов в последующем периоде. Чаще всего, данный метод называют «сложным процентом» (это проще произносится).

Звучит несколько заумно, но чуть далее все станет понятно.

Определение простых и сложных процентов

Простые проценты – ставка доходности, начисляемая на изначальную сумму вклада. Их размер определяется только одни раз по окончании срока депозита и остается неизменным во всех последующих отчетных периодах, без учета пассивного дохода, полученного вкладчиком.

Сложные проценты по депозиту определяются как геометрическая прогрессия накоплений по вкладу. То есть, в каждый расчетный период величина базовой суммы депозита, к которой применяется формула банковского процента, увеличивается путем прибавления полученного дохода.

Простые и сложные проценты отличаются принципом вычисления размера прибавки к базовой сумме накоплений. В первом случае базис не меняется с течением расчетных периодов, в случае с капитализацией (или реинвестированием) – она увеличивается каждый раз на сумму начисленных депозитных бонусов.

Для среднестатистического обывателя подобная информация может показаться чересчур заумной, но, если разобраться немного подробнее, все не так страшно. И даже формулы простых и сложных процентов, при их детальном разборе, просты и понятны.

Формула простых процентов

Применение разных схем начисления процентов отражается на размере пассивного дохода по вкладу

Пример расчета

Клиент банка открыл депозитный счет, пополнив его на 1000 рублей. Ставка учреждения по депозиту составляет 10% годовых, срок действия вклада – 3 года.

Формула расчета простой доходной ставки приведет к итогу, что через оговоренных 3 года клиент получит 1300 рублей. Сложная ставка процентов принесет клиенту через тот же срок 1331 рубль за счет реинвестирования средств.

Разница в 31 рубль, возможно, не так уж и критична, но если речь пойдет о вкладе на более крупную сумму, то и выгода окажется несоразмерной данному примеру.

Как рассчитать процентную ставку: годовую или месячную

Проценты по займам и вкладам

Зачастую на сайтах организаций есть специальный калькулятор, с помощью которого можно узнать доходность вклада. Что же делать, если такой функции на сайте не представлено? Да и в договоре вряд ли будет стоять ссылка на результаты подсчета, сделанные калькулятором. Его можно изменить или вообще убрать. Лучше всего производить вычисления самому.

Расчет процентов по годовой ставке включает в себя формулу простого и сложного процента. Она указывается в документах и может быть фиксированной и плавающей. С последней иметь дело сложнее, так как она трудно прогнозируется. В этом случае базой для плавающей ставки может быть какой-нибудь ключевой параметр, например, ставка рефинансирования ЦБ. При ее изменении с определенным лагом меняется и плавающая ставка. Фиксированная же ставка привносит больше легкости в сравнительный анализ и общее понимание.

Ключевые составляющие сложных процентов

При расчете сложных процентов вам необходимо учитывать несколько ключевых факторов. Каждый из них играет свою роль в конечном продукте, и некоторые переменные могут существенно повлиять на вашу прибыль. Вот пять ключевых переменных, влияющих на понимание сложных процентов:

  • Процентная ставка. Процентная ставка, которую вы зарабатываете или взимаете. Чем выше процентная ставка, тем больше денег вы зарабатываете и тем больше вы должны.
  • Стартовый принципал. С какой суммы вы начинаете? Насколько крупный кредит вы взяли? Хотя со временем начисление сложных процентов суммируется, все зависит от начальной суммы.
  • Частота начисления. Скорость начисления процентов – ежедневно, ежемесячно или ежегодно – определяет, насколько быстро растет баланс. Взяв ссуду или открывая сберегательный счет, убедитесь, что вы понимаете, как часто возрастают проценты.
  • Продолжительность. Как долго вы ожидаете удерживать счет или погасить ссуду? Чем дольше вы оставляете деньги на сберегательном счете или чем дольше вы держите долг, тем дольше он будет накапливаться и тем больше вы заработаете или будете должны.
  • Депозиты и снятие средств. Ожидаете ли вы регулярно пополнять свой счет? Как часто вы будете платить по кредиту? Скорость, с которой вы увеличиваете свой основной баланс или выплачиваете ссуду, имеет большое значение в долгосрочной перспективе.

В случае сложных процентов прибыль от актива, такая как прирост капитала или реинвестированные дивиденды, со временем приводит к дальнейшему росту прибыли. Инвестиции продолжат приносить прибыль от основной суммы долга и прибыли, накопленной за предыдущие периоды.

Например, реинвестирование денежных дивидендов на покупку большего количества акций увеличит вашу прибыль благодаря будущим выплатам дивидендов. Обратите внимание, что сложные проценты работают как для активов, так и для обязательств.

Чтобы рассчитать будущую стоимость инвестиции через эффект сложного процента при определенной норме прибыли за период, вы можете использовать следующую формулу:

FV = PV x (1 + i) ^ n

  • FV = будущая стоимость
  • PV = текущая стоимость
  • i = норма доходности / процентная ставка за период
  • n = количество периодов в году

Если вы инвестируете 100000 долларов и хотите знать, какой размер будут иметь ваши инвестиции, исходя из годовой прибыли в размере 8%, которая увеличивается за 10 лет, вот решение, использующее приведенную выше формулу:

FV = 100 000 долларов США x (1 + 0,08) ^ 10

FV = 215 892,50 долл. США

Прибыль = 115 892,50 $

Чтобы продемонстрировать истинную силу начисления сложных процентов, вы можете использовать тот же пример, что и выше, но применять ставку 8% простых процентов на основную сумму каждый год.

Прибыль = 100 000 долларов США x 0,08 x 10 = 80 000 долларов США

Как видите, разница в прибыли между двумя типами инвестиций значительна. Через десять лет разрыв составляет 35 892,50 доллара, или на 44,87% больше при начислении сложных процентов, чем при получении простых процентов.

Если у вас есть хорошо сбалансированный инвестиционный план, вы можете использовать силу сложных процентов, чтобы значительно ускорить свой путь к своим финансовым целям.

1.3

, . (%) :

% = p * d / y,

p — ( / 100) ,

, 10,5%, p = 10,5 / 100 = 0,105;

d — ( ), ( ), , , d = 30 , 3 , d = 90 ;

y— (365 366).

.

[4]:

SUM = X * (1 + p*d/y)n

2 :

1. . 50 000 . 15 20%. . .

2. . 50 000 . 15 20%. . .

1

: 50 000

: 20%

1

60 000 .

10 000 .

60 000 .

10 000 .

2

70 000 .

10 000 .

72 000 .

12 000 .

3

80 000 .

10 000 .

86 400 .

14 400 .

4

90 000 .

10 000 .

103 680 .

17 280 .

5

100 000 .

10 000 .

124 416 .

20 736 .

6

110 000 .

10 000 .

149 299 .

24 883 .

7

120 000 .

10 000 .

179 159 .

29 860 .

8

130 000 .

10 000 .

214 991 .

35 832 .

9

140 000 .

10 000 .

257 989 .

42 998 .

10

150 000 .

10 000 .

309 587 .

51 598 .

11

160 000 .

10 000 .

371 504 .

61 917 .

12

170 000 .

10 000 .

445 805 .

74 301 .

13

180 000 .

10 000 .

534 966 .

89 161 .

14

190 000 .

10 000 .

641 959 .

106 993 .

15

200 000 .

10 000 .

770 351 .

128 392 .

:

150 000 .

720 351 .

, , . , , . , . , , . , . (. 7) , , 50 000 . 15 10%, 15% 20%.

. 7

2.

Выбор вклада

Большинство финансово-кредитных организаций предлагает услугу капитализации как дополнительный способ увеличения доходов и повышения привлекательности продукта. Однако, это может быть просто маркетинговый ход. Для того, чтоб проценты действительно выгодно пополняли основной вклад, не лишним будет:

  • Учитывать надежность банка, его репутацию и участие в программе государственной системы страхования вкладов.
  • Изучать все предложения и анализировать их условия в сравнении друг с другом. Часто бывает, что стандартный вклад может оказаться более выгодным. Например, в среднем при размещении депозита с ежемесячной капитализацией под 10% годовых, аналогичный доход принесет обыкновенный вклад с процентом размещения выше на 0,5 % — 1 %.
  • Оценить собственные возможности и потребности. При краткосрочном размещении и высокой вероятности снятия денег со счета преждевременно смысл капитализации теряется. Вероятнее всего в этой ситуации более выгодным будет выбор варианта обычного депозита с наиболее высокими процентами.
  • Не доверять по умолчанию расчетам сотрудников и просчитать самостоятельно размер дохода по нескольким вкладам.

Список источников

  • Финансовая математика (детерминированные модели): конспект лекций/Н.А.Шиловская.-Архангельск:Сев. (Аркт.) фед.ун-т, 2011. -104с.
  • Ширшов Е.В. Финансовая математика: учебное пособие / Е.В. Ширшов, Н.И. Петрик, А.Г. Тутыгин, Т.В. Меньшикова. — 5-е перераб. и доп. — М.: КНОРУС, 2010. — 144 с.

Пример расчета простого и сложного процентов

Чтобы лучше понять в чем хитрость капитализации, рассмотрим небольшой пример. Допустим, вы вложили 1 000 000 рублей под 12% годовых. Что с ними будет через 10 лет при разных системах расчета.

Тип расчета Период Процент за период Общая сумма вклада и дохода через 10 лет
Простые проценты 1 год 12% 2 200 000 рублей
Сложный процент 1 год 12% 3 105 848,20 рублей
Сложный процент 1 месяц 1% (12 / 12) 3 300 386,89 рублей
Сложный процент 1 день 0,0329% (12 / 365) 3 322 248,02 рублей

Как видите, один и тот же процент может представлять совершенно разные результаты. Так, разница между простыми и сложными процентами просто разительна и составляет порядка 900 000 рублей. При дроблении сложного процента, разница уже не так сильно чувствуется, но все же. Как говорится, копейка рубль бережет.

Изменение стоимости денег во времени

Как связаны временная денежная стоимость и расчет годовых процентов ? Дело в том, что процесс начисления процентов увеличивает первоначальную сумму свободных финансовых средств. Чтобы выбрать из нескольких вариантов инвестирования, нужно проводить анализ доходностей активов. Особенность заключается в разных периодах поступления дивидендов. Для сравнения их приводят к одному временному периоду. Ниже приведены примеры.

Примеры сложных процентов

Сложные проценты могут либо помочь, либо навредить вам, в зависимости от того, накапливаете ли вы деньги или берете их в кредит.

Сберегательные счета, текущие счета и депозитные сертификаты (CD)

Когда вы вносите депозит на счет в банке, который приносит проценты, например, на сберегательный счет, проценты будут зачислены на ваш счет и добавлены к вашему балансу. Это помогает вашему балансу со временем расти.

Инвестиционные счета

Заработок на инвестиционном счетах также со временем увеличивается. Процент, который акции растут изо дня в день, рассчитывается на основе их результатов накануне, что означает, что они увеличиваются каждый рабочий день. Если вы реинвестируете свои дивиденды и будете регулярно делать депозиты, вы можете помочь своему балансу расти еще быстрее.

Ссуды и ипотека

Сложные проценты работают против вас. Когда вы занимаете деньги, вам начисляются проценты с тех денег, которые вы не возвращаете. Если вы не уплачиваете проценты в течение срока, указанного в вашем ссуде, они «капитализируются» или добавляются к вашему первоначальному ссудному остатку. После этого будущие проценты начисляются на новый, больший остаток кредита.

Кредитные карты

Каждый месяц с вашей кредитной карты взимается процент с вашего баланса на карте. Если вы больше не снимаете с карты и выплачиваете начисленные проценты каждый месяц, ваш баланс останется прежним. Но если вы не заплатите достаточно, чтобы покрыть новые проценты за месяц, они будут добавлены к балансу вашей кредитной карты. Затем проценты в следующем месяце рассчитываются на основе этой большей суммы.

Темп инфляции

      Определение 8. Месячным темпом инфляции называют такое количество процентов, на которое возрастают цены товаров за месяц, по сравнению с предыдущим месяцем.

      Задача 5. Месячный темп инфляции равен   5% .   На сколько процентов возрастают цены за год?

      Решение. Инфляция является процессом, развивающимся по схеме сложных процентов.   Если обозначить цену товара в первый день года буквой   Z ,   то, используя формулу (8), находим цену товара через 12 месяцев:

K (12) = Z (1 + 0,05)12 =
=
1,7959 Z

      Следовательно, с начала года цена товара   Z   увеличилась на сумму   0,7959 Z ;   т.е. увеличилась на   79,59% .

      Ответ. Цены вырастают за год на   79,59% .

      Замечание 2. Если бы мы для решения этой задачи вместо формулы (8) применили формулу (6), которая относится к расчету по схеме простых процентов, что является серьёзной ошибкой, то мы бы получили неверный ответ, свидетельствующий о том, что при месячном темпе инфляции в   5%   цены за год вырастают на   60% .

Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ в учебном центре Резольвента

      Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».

      Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».

      Методы решения задач на смеси, сплавы и растворы, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на смеси, сплавы и растворы».

      С методами, используемыми при решении задач на движение, можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

     С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.

Рейтинг
( 1 оценка, среднее 5 из 5 )
Загрузка ...